基本數學符號

以下說明一些在講義中我們經常會用到，不過可能有些人不太熟悉的數學符號。在這裡我們只會說明符號的定義和舉例使用方法，不會深入探討各種運算的性質。本文只是整理常用到的符號，方便讀者在遇到看不懂的符號時可以快速查詢，可以不用一次把這裡的所有東西讀完並記住。

最常用的邏輯符號包含且（and）、或（or）、反（not），它們的符號分別是 $\land$、$\lor$ 和 $\neg$，就是等同於 C++ 裡 &&、|| 和 ! 的意思。舉例來說：

• $a > 5 \land a < 10$ 就是「$a>5$ 而且 $a<10$」，也就是 $5 < a < 10$ 的意思。
• $\neg(a < 10) \lor b > 5$ 就是「$a$ 不小於 $10$ 或是 $b>5$」的意思，注意到 $\neg$ 的運算順序是最先的。
• $(\neg (a > 3) \land b < 6) \lor \neg(c + d > 10 \lor a + b = 123)$ 是一個很複雜的表達式，等同於 C++ 裡的 (!(a > 3) && b < 6) || !(c + d > 10 || a + b == 123)。注意到世人對 $\land$ 和 $\lor$ 的運算順序沒有什麼共識，所以同時出現時我們會加上括號來表示運算順序。

以上都是「表示是或否的式子」也就是布林表達式。我們還會常常用到以下這些符號，$a$ 和 $b$ 都是布林表達式：

• $a \implies b$：要是 $a$ 是對的，那麼 $b$ 就是對的。
• $a \iff b$：$a$ 是對的若且唯若（if and only if）$b$ 是對的。

舉例來說：

• 我們可以說 $a > 3 \implies a > 2$ 來表示要是 $a > 3$，那麼就會有 $a > 2$。
• $a > 3 \iff 0 < \frac{1}{a} < \frac{1}{3}$ 代表 $a > 3$ 的話就一定會滿足 $0 < \frac{1}{a} < \frac{1}{3}$、反過來也是，而且如果 $a \ngtr 3$，那就一定不會有 $0 < \frac{1}{a} < \frac{1}{3}$、如果沒有 $0 < \frac{1}{a} < \frac{1}{3}$，那就一定不會有 $a > 3$。

一個集合（set）的意思是一堆不重複的東西，且這些東西沒有順序、可以沒有也可以有無限個，這裡的「東西」我們會稱為元素，可以是任何的數學物件，像是數字、數列等等。常見的數字集合有：

• $\mathbb{Z}$：整數，$\mathbb{Z}^+$ 和 $\mathbb{Z}^-$ 分別代表正整數和負整數。
• $\mathbb{N}$：自然數，視情況而定，有時候是指正整數，有時候是指非負整數。$\mathbb{N}_0$ 特指非負整數、$\mathbb{N}^+$ 則指正整數。
• $\mathbb{R}$：實數。
• $\mathbb{Q}$：有理數。
• $\mathbb{C}$：複數。

要表示一個集合的時候，我們通常會用一對大括號包起來，像是 $S=\{1,2,3\}$ 就是包含 $1,2,3$ 這三個數字的集合。$\varnothing$ 代表空的集合。$a \in S$ 代表 $a$ 是集合 $S$ 之中的一個元素，$a \notin S$ 則代表不是。比較巨大的集合我們也會用「滿足什麼樣條件的元素會在裡面」來表示，例如 $\{x \mid x < 10 \land x \in \mathbb{Z}\}$ 代表所有 $<10$ 的整數構成的集合（有時候 $x \in \mathbb{Z}$ 這類的條件會因為可以從前後文推測而被省略）、$\{x+5 \mid x \leq 3 \land x \in \mathbb{Z}^+\}$ 代表「由所有滿足 $x \leq 3$ 的正整數 $x$ 所得出的 $x+5$」所構成的集合，等同於 $\{6,7,8\}$，總之 $\mid$ 左邊的是在集合裡的元素們長什麼樣子，而裡面用到的變數必須滿足右邊的條件。

集合之間可以進行一些運算，得到一個新的集合，包含：

• $A \cup B$：集合 $A$ 和 $B$ 的聯集，也就是 $\{x \mid x \in A \lor x \in B\}$。
• $A \cap B$：集合 $A$ 和 $B$ 的交集，也就是 $\{x \mid x \in A \land x \in B\}$。
• $A \setminus B$：集合 $A$ 和 $B$ 的差集，等同集合 $A$ 去除所有在 $B$ 中的元素，也就是 $\{x \mid x \in A \land x \notin B\}$。

$\cup$、$\cap$ 的開口方向和對應意思的 $\lor$、$\land$ 是一樣的，非常好記。

也有用來表示集合與集合之間關係的符號：

• $A \subseteq B$ 代表 $A$ 是 $B$ 的子集合（subset）、$B$ 是 $A$ 的 superset，也就是所有 $A$ 中的元素也都在 $B$ 之中。
• $A \subset B$ 代表 $A$ 是 $B$ 的真子集（proper subset），跟子集合不同的是這裡 $A$ 不能等於 $B$，有時會特別寫成 $\subsetneq$ 來強調不能相等。

有時候我們會規定一個宇集合（universal set），然後下文提到的集合全都是這個集合的子集。假設宇集合是 $U$，$\overline{A}$ 或 $A'$ 指的是 $A$ 的補集（complement），代表宇集裡所有不在 $A$ 之中的元素，例如 $U=\{1,2,3,4,5\}$、$A=\{1,2,3\}$，那 $\overline{A}$ 就是 $\{4,5\}$。

在表示一個區間的時候，我們常會使用區間記號。$[\ell,r]$ 代表 $\ell$ 到 $r$ 之間的數字構成的區間，包含 $\ell$ 和 $r$，$(\ell,r)$ 則代表不包含 $\ell,r$，也有混合版的 $[\ell,r)$ 和 $(\ell,r]$，中括號就代表包含，小括號則代表不包含。包含端點的區間我們稱之為閉區間，不包含則稱為開區間。區間可能是指其中所有實數，也可能是只有整數，依據前後文而定。區間是一種集合，舉例來說，$[\ell,r)=\{x \mid \ell \leq x < r\}$，所以也會跟各種集合相關的符號搭配使用。

\[ \sum_{k=a}^b f(k) \]
這坨東西的意思是對於 $k=a,a+1,\dots,b$，把 $f(k)$ 全部加起來，用程式碼來理解的話大概就是

int ans = 0;
for(int k = a; k <= b; k++){
    ans += f(k);
}

像是 $\sum_{k=1}^3 k = 1+2+3$、$\sum_{k=1}^3 2k = 2+4+6$ 等等。有時候也會寫成
\[ \sum_{k \in S} f(k) \]
代表拿集合 $S$ 中所有的元素 $k$，將 $f(k)$ 加總起來。

有一個類似的符號是
\[ \prod_{k=a}^b f(k) \]
是類似的意思，只不過是把加換成乘。

要把一個實數變成整數的時候，我們會使用高斯記號，包含下高斯 $\lfloor x \rfloor$ 和上高斯 $\lceil x \rceil$，意思分別是「$\leq x$ 的最大整數」和「$\geq x$ 的最小整數」，白話一點說就是往下或往上找最靠近的整數，也就是向下取整和向上取整。舉個例子，$\lfloor 1.5 \rfloor = 1$、$\lceil \pi \rceil = 4$、$\lfloor -1.618 \rfloor = -2$。

注意到 C++ 之中的整數除法是「向零取整」，也就是在答案是正數時向下取整、答案是負數時向上取整，至於模運算 a % b 的結果其實是 a - a / b * b，因此在 a / b 是負數時，a % b 的結果會是負的。我們在數學式子之中表示模運算時，會寫成 $a \bmod b$，不過一般來說我們會假設結果是 $\geq 0$ 的，也就是 $a \bmod b = a - \left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor b$，要特別注意這和直接在 C++ 裡寫出 a % b 的結果是不同的。模運算的另一種寫法是 $a \equiv b \pmod{m}$，代表 $a \bmod m = b \bmod m$。

在表示因數倍數關係的時候，我們會用 $a \mid b$，讀作「$a$ 整除 $b$」，代表 $a$ 是 $b$ 的因數、$b$ 是 $a$ 的倍數、$\frac{b}{a}$ 是整數。

$\gcd(a,b)$ 代表 $a,b$ 兩個整數的最大公因數（如果有負數的話是代表 $\lvert a \rvert,\lvert b \rvert$ 的最大公因數）、$\text{lcm}(a,b)$ 代表最小公倍數，等同於 $\frac{\lvert a \times b \rvert}{\gcd(a,b)}$。